在矩阵上使用行运算
一旦方程组采用增强矩阵形式，我们将对行执行运算，从而得出解。
要通过消除求解，我们在方程组中按哪个顺序排列方程都没关系。 同样，在矩阵中我们可以交换行。
当我们通过消除求解时，我们经常将其中一个方程乘以一个常数。 由于每行代表一个方程，我们可以将方程的每一边乘以一个常数，同样，我们可以将行中的每个条目乘以除 0 之外的任何实数。
在消除中，我们经常将一行的倍数添加到另一行。 在矩阵中，我们可以将一行及其总和替换为另一行的倍数。
这些操作称为行运算，将帮助我们使用矩阵求解方程组。
行操作
在矩阵中，可以在任何行上执行以下操作，生成的矩阵将等同于原始矩阵。
将任意两行互换。
将一行乘以 0 以外的任意实数。
将一行的非零倍数添加到另一行。
执行这些操作很容易，但是所有的算术都可能导致错误。 如果我们使用系统记录每个步骤中的行操作，则回去检查我们的工作要容易得多。
我们使用带下标的大写字母来表示每一行。 然后，我们在新矩阵的左侧显示运算。 要显示互换行，请执行以下操作：
要将第 2 行乘以\(−3\)：
要将第 2 行乘以\(−3\)并将其添加到第 1 行，请执行以下操作：
示例\(\PageIndex{7}\)
在增强矩阵上执行指示的操作：
ⓐ 交换第 2 行和第 3 行。
ⓑ 将第 2 行乘以 5。
ⓒ 将第 3 行乘以 −2−2，然后与第 1 行相加。
\( \left[ \begin{array} {ccc|c} 6 &−5 &2 &3 \\ 2 &1 &−4 &5 \\ 3 &−3 &1 &−1 \end{array} \right] \)
回答
ⓐ 我们交换第 2 行和第 3 行。
ⓑ 我们将第 2 行乘以 5。
ⓒ 我们将第 3 行乘以，\(−2\)然后相加到第 1 行。
示例\(\PageIndex{8}\)
在增强矩阵上执行指示的操作：
ⓐ 交换第 1 行和第 3 行。
ⓑ 将第 3 行乘以 3。
ⓒ 将第 3 行乘以 2 并加到第 2 行。
\( \left[ \begin{array} {ccc|c} 5 &−2 &-2 &-2 \\ 4 &-1 &−4 &4 \\ -2 &3 &0 &−1 \end{array} \right] \)
回答
ⓐ\( \left[ \begin{matrix} −2 &3 &0 &−2 \\ 4 &−1 &−4 &4 \\ 5 &−2 &−2 &−2 \end{matrix} \right] \)
ⓑ\( \left[ \begin{matrix} −2 &3 &0 &−2 \\ 4 &−1 &−4 &4 \\ 15 &−6 &−6 &−6 \end{matrix} \right] \)
ⓒ\( \left[ \begin{matrix} -2 &3 &0 &2 & \\ 3 &4 &-13 &-16 &-8 \\ 15 &-6 &-6 &-6 & \end{matrix} \right] \)
示例\(\PageIndex{9}\)
在增强矩阵上执行指示的操作：
ⓐ 互换第 1 行和第 2 排
ⓑ 将第 1 行乘以 2
ⓒ 将第 2 行乘以 3 并相加到第 1 行。
\( \left[ \begin{array} {ccc|c} 2 &−3 &−2 &−4 \\ 4 &1 &−3 &2 \\ 5 &0 &4 &−1 \end{array} \right] \)
回答
ⓐ\( \left[ \begin{matrix} 4 &1 &−3 &2 \\ 2 &−3 &−2 &−4 \\ 5 &0 &4 &−1 \end{matrix} \right] \)
ⓑ\( \left[ \begin{matrix} 8 &2 &−6 &4 \\ 2 &−3 &−2 &−4 \\ 5 &0 &4 &−1 \end{matrix} \right] \)
ⓒ\( \left[ \begin{matrix} 14 &−7 &−12 &−8 \\ 2 &−3 &−2 &−4 \\ 5 &0 &4 &−1 \end{matrix} \right] \)
既然我们已经练习了行运算，我们将看一个增强矩阵，弄清楚我们将使用什么运算来实现目标。 这正是我们在淘汰时所做的。 我们决定将一行乘以哪个数字，以便在将各行相加时消除变量。
有了这个系统，你会怎么做才能消除 x？
下一个例子本质上做了同样的事情，只是对矩阵做了同样的事情。
示例\(\PageIndex{10}\)
执行所需的行运算，使第 2 行中的第一个条目在增强矩阵中为零：\( \left[ \begin{array} {cc|c} 1 &−1 &2 \\ 4 &−8 &0 \end{array} \right] \)
回答
要将 4 设为 0，我们可以将第 1 行乘以，\(−4\)然后将其添加到第 2 行。
示例\(\PageIndex{11}\)
执行所需的行运算，使第 2 行中的第一个条目在增强矩阵中为零：\( \left[ \begin{array} {cc|c} 1 &−1 &2 \\ 3 &−6 &2 \end{array} \right] \)
回答
\( \left[ \begin{matrix} 1 &−1 &2 \\ 0 &−3 &−4 \end{matrix} \right] \)
示例\(\PageIndex{12}\)
执行所需的行运算，使第 2 行中的第一个条目在增强矩阵中为零：\( \left[ \begin{array} {cc|c} 1 &−1 &3 \\ -2 &−3 &2 \end{array} \right] \)
回答
\( \left[ \begin{matrix} 1 &−1 &3 \\ 0 &−5 &8 \end{matrix} \right] \)